3 Ықтималдық теориясының элементтері

Тиындарды лақтырайық

Және текшелер

Интуитивті түрде, ықтималдық қарапайым.

Алты жақты сүйекке 1 санын лақтыру мүмкіндігі қандай?
1 немесе 2 санын лақтыру мүмкіндігі қандай?
1, 2, 3, 4, 5 немесе 6 санын лақтыру мүмкіндігі қандай?
7 санын лақтыру мүмкіндігі қандай?
2 емес сүйекті лақтыру мүмкіндігі қандай?
Екі сүйекті лақтырғанда, екі 1 санын лақтыру мүмкіндігі қандай?

Жауаптар:

Алты жақты сүйекке 1 санын лақтыру мүмкіндігі қандай? Жауап: $1/6$
1 немесе 2 санын лақтыру мүмкіндігі қандай? Жауап: $1/3$
1, 2, 3, 4, 5 немесе 6 санын лақтыру мүмкіндігі қандай? Жауап: $1$
7 санын лақтыру мүмкіндігі қандай? Жауабы: $0$
2 емес нәрсені лақтыру мүмкіндігі қандай? Жауабы: $5/6$
Екі сүйекті лақтырғанда, екі 1 лақтыру мүмкіндігі қандай? Жауабы: $1/36$

Ықтималдық

Ықтималдық - есептеуге дейін азайтылған қарапайым түсінік (Лаплас)

Кездейсоқ оқиға

Қайрат күн сайын кофе ішуге кафеге барады. Кейде ол кезекте тұруы керек. Кезекте тұрған адамдар саны кездейсоқ оқиғаның мысалы болып табылады. 0, 1, 2, 3 және т.б. болуы мүмкін.
Кездейсоқ оқиға (кездейсоқ құбылыс) - белгілі бір нәтиже болуы мүмкін кез келген жағдай, бірақ біз оның не болатынын нақты білмейміз.
Ықтималдық теориясы кездейсоқ оқиғалардың математикалық сипаттамасын береді (тиын лақтыру, таспа лақтыру, кездейсоқ адамның бойы және т.б.).

Ықтималдық моделі

Ықтималдық моделі - кездейсоқ оқиғаның математикалық сипаттамасы. Үш негізгі элементтен тұрады:
(1) Кездейсоқ оқиға
Кездейсоқ оқиғаның нәтижесі бақылау немесе сынақ деп аталады.** “Біз екі рет тиын лақтырдық” = “Бізде екі бақылау/сынақ бар.”
Кездейсоқ оқиғаның мүмкін болатын нәтижелерінің жиынтығы немесе (2) Үлгі кеңістігі немесе тірек кеңістігі. $\Omega$ арқылы белгіленеді.
Әрбір нәтижеге ықтималдық тағайындайтын ереже. - (3) Ықтималдықтың таралуы

Ықтималдық моделі

Кездейсоқ оқиға

Кездейсоқ оқиға - кездейсоқ нәтижесі бар кез келген процесс.
Мысалы, тиын немесе тас лақтыру.
Жеке тұлғалардың дерекқорынан кездейсоқ таңдалған ЖСН.
Нысанаға жебе лақтыру және т.б.

Кездейсоқ оқиға

Кездейсоқ оқиғаны бақылаған сайын, нәтижені жазып аламыз.
Бақылау нәтижесі кездейсоқ айнымалы деп аталады. Кездейсоқ айнымалылар бас латын әріптерімен белгіленеді, мысалы, $X$ немесе $Y$.
Мысалы, $X$ тиын лақтыру нәтижесін, ал $Y$ тас лақтыру нәтижесін білдіруі мүмкін.
$U$ кездейсоқ таңдалған күні Астанада болған жол-көлік оқиғаларының санын білдіруі мүмкін. - $X$ және $Y$ шаршы нысанаға лақтырылған жебенің координаттары болуы мүмкін.

Үлгі кеңістігі (немесе тірек кеңістігі)

Кездейсоқ айнымалы қабылдай алатын барлық мүмкін мәндер Үлгі кеңістігі деп аталады. $\Omega$ арқылы белгіленеді.
Тиын лақтыру үшін: $\Omega = \{Бастар, Құйрықтар\}$. Немесе
$X \in \{Бастар, Құйрықтар\}$
Сүйек үшін: $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$
$Y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$
Астанадағы кездейсоқ күндегі жол-көлік оқиғаларының саны үшін: $\Omega = \mathbf{Z}^{+}$
$U \in \mathbf{Z}^{+}$
Дарт лақтыру үшін: $\Omega = \{(x, y)| 0 \leq x,y \leq 1\}$
$(X,Y) \in \{(x, y)| 0 \leq x,y \leq 1\}$

Нәтиже және оқиға

Нәтиже кездейсоқ айнымалы қабылдай алатын нақты мән. Нәтиже - Нәтиже кеңістігінің ($\Omega$) бір элементі. Оларды $x$ немесе $y$ кіші әріптерімен белгілейміз.
Мысалы, штамп үшін $X = 1$ лақтырудың бір болғанын білдіреді.
Оқиға - Нәтиже кеңістігінің ($\Omega$) кез келген ішкі жиыны. Оқиғалар бас әріптермен белгіленеді.
$A \ішкі жиын \Omega$

Оқиғалар туралы қосымша ақпарат

Оқиға $A = {Бастар}$ сияқты бір ғана нәтижеден тұруы мүмкін, бірақ сонымен қатар бірнеше нәтижеден тұруы мүмкін.
Мысалы, екі монета лақтыруды қарастырыңыз.
A оқиғасы: Бірінші лақтыруда бастар
A оқиғасы екі нәтижеден тұрады: $A = \{OO, OP\}$
Атомдар түріндегі нәтижелер (элемент бөлшектер)
Молекулалар түріндегі оқиғалар (бірнеше атомнан тұруы мүмкін)

Оқиғалардың бірігуі және қиылысы

Оқиғалардың біріктіруі, $\mathbf{A} \cup \mathbf{B}$, $A$ немесе **B$ шарттарын қанағаттандыратын барлық нәтижелер жиыны.
$A \cup B = \{x|x \in A \textrm{ OR } x \in B\}$ - логикалық OR
Мысал: $A$ оқиғасы - кездейсоқ автобус жолаушысы жүкті әйел болып шықты;
$B$ - кездейсоқ жолаушы зейнеткер болып шықты.
Екі оқиғаның бірігуі, $A\cup B$ - жүкті әйелдерге немесе зейнеткерлерге арналған орындарда отыра алатын адам.
Екі оқиғаның қиылысуы, $\mathbf{A} \cap \mathbf{B}$, бір мезгілде екеуі де $A$, екеуі де $B$ теңдеулерін қанағаттандыратын барлық нәтижелер жиыны болып табылады.
$A \cap B = \{x|x \in A \textrm{ AND } x \in B\}$ - логикалық AND
Жоғарыдағы мысалда $A \cap B$ жүкті зейнеткерге сәйкес келеді.

Қиылысатын және ажыратылатын оқиғалар

Монетаны екі рет аударып, үш оқиғаны анықтаңыз:
A: бірінші лақтыруда бастар: $\{OO, OP\}$
B: екінші лақтыруда құйрықтар: $\{OP, PP\}$
C: бірінші лақтыруда құйрықтар: $\{PO, PP\}$
$A \cup B = \{OO, OP, PP\}$, $A \cap B = \{OP\}$
$A \cup C = \{OO, OP, PO, PP\}$, $A \cap C = \{\emptyset\}$
Екі оқиғаның ортақ нәтижелері болмаса, олар ажыратылмаған немесе өзара жоққа шығаратын деп аталады: A және C ажыратылмаған, себебі $A \cap C = \emptyset$

Қиылысатын және қиылыспайтын оқиғалардың бірігуі

Қиылыспайтын оқиғалар:

Семейден 4 студент, $A$ жиынтығы; Өскемен қаласынан 10 оқушы, $B$ жиынтығы
Шығыс Қазақстан облысынан қанша оқушы бар? $|A\cup B|$
$|A\cup B| = 4 + 10 = 14$

Қиылысатын оқиғалар:

5 оқушының мысығы бар ($A$); 3 оқушының иттері бар ($B$)
1 оқушының мысығы да, иті де бар: $A \cap B$
Қанша оқушының үй жануары бар? $|A\cup B|$
$|A\cup B| = 5 + 3 - 1 = 7$

Ықтималдықтардың таралуы

Мүмкін болатын нәтижелерді анықтағаннан кейін, осы нәтижелерге $P(X = x_i)$ ықтималдығын тағайындауымыз керек.
Ықтималдықтардың таралуы үш ережеге бағынуы керек.

$P(\emptyset) = 0$ - міндетті түрде бір нәрсе болуы керек.
$P(\Omega) = 1$ - міндетті түрде бір нәрсе $\Omega$ тізімінде болуы керек.
Егер $A$ және $B$ ажыратылған болса, онда ($A\cap B = \emptyset$) $\rightarrow$ $P(A\cup B) = P(A) + P(B)$.

Мысалдар

Монета: $P(X = Бастар) = 1/2$ және $P(X = Құйрықтар) = 1/2$
монета әділ болған жағдайда
Өлшем: $P(Y = 1) = 1/6$, $P(Y = 2) = 1/6$ және т.б.
Дартс және шаршы нысана: $P(X = x, Y = y) = 0$, неге?
Нәтиже кеңістігі шексіз, сондықтан $P(X = x, Y = y) = 1/\inf = 0$
Міне, сондықтан біз Оқиғалар тұжырымдамасын енгіздік: $P(X > 1/2, Y > 1/2) = 1/4$

Өлшем мысалы

Кем дегенде 2 домалату ықтималдығы қандай? $P((X = 1) \cup (X = 2))$
$P((X = 1) \cup (X = 2)) = P(X = 1) + P(X = 2) = 1/6 + 1/6 = 1/3$
Жұп санды лақтыру ықтималдығы қандай?
$P(X \in \{2, 4, 6\}) = 3*1/6 = 1/2$
Жұп санды немесе кем дегенде екі санды лақтыру ықтималдығы қандай?
$A$: жұп $\{2, 4, 6\}$
$B$: кем дегенде екі $\{1, 2\}$
$A \cap B$: жұп және кем дегенде екі: $\{2\}$

\[\begin{align*} P(A \cup B) &= P(A) + P(B) - P(A \cap B) \\ P(A \cup B) &= 3/6 + 2/6 - 1/6 = 4/6 = 2/3 \end{align*}\]

TerVer және статистика I

Ықтималдық теориясы мен статистика бір тиынның екі жағы сияқты байланысты пәндер. - Ықтималдық теориясы ықтималдық моделінен басталады және модель шығаратын деректерді шығарады.
$\rightarrow$ моделі Деректер
Мысалы, егер бізде ықтималдығы $p = 0.2$ болатын оқиға болса, оқиға орта есеппен 100 сынақта қанша рет болады?
Статистика: деректерден басталады және берілген деректерді тудыруы мүмкін модельді шығарады.
Деректер $\rightarrow$ Модель
Мысалы, егер біз белгілі бір оқиғаны 100 сынақта 20 рет байқасақ, оқиғаның ықтималдығы қандай?

4 Шартты ықтималдық

Стандартты ықтималдық

Бізде 12 студент бар, оның ішінде
5 ер адам ($A$)
4 жүргізуші ($B$)
3 ер жүргізуші ($A \cap B$)
Кездейсоқ 1 студентті таңдайық. Оның ер адам болу ықтималдығы қандай?
$P(A) = 5/12 \шамамен 0.42$

Шарт қосайық

Біреу сізге кездейсоқ таңдалған студент көлік жүргізеді деп айтсын.
Бұл шарт осы студенттің ер адам болу ықтималдығын қалай өзгертеді?
Енді біздің мүмкін нәтижелер кеңістігіміз шартты қанағаттандыратын (көлік жүргізу) 4 студентке дейін қысқартылды.

Кейбір белгілеулерді енгізейік

Шартты келесідей өрнектейміз:

\[P(A|B) = \textrm{В оқиғасы орын алған жағдайда А ықтималдығы}\]

Анықтамасы: \[P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{3/12}{4/12} = \frac{3}{4} = 0.75\]
Саналылықты тексеру: $B$ оқиғасы орын алған жағдайда $B$ оқиғасының ықтималдығы қандай?
Мысалы, егер студент көлік жүргізсе, көлік жүргізу ықтималдығы қандай?
Ол 1 болуы керек.
Шынында да, $P(B|B) = \frac{P(B \cap B)}{P(B)} = \frac{P(B)}{P(B)} = 1$

Шартты ықтималдық

Шартты ықтималдықтар шартсыз ықтималдықтардан еш айырмашылығы жоқ. Біріншісіне қатыстының бәрі екіншісіне де қатысты. - Жаттығу: 4 жақты штамптың екі домалауы
$\mathbf{B} оқиғасы: min(d_1,d_2) = 2$
$\mathbf{M_1} оқиғасы: max(d_1,d_2) = 1$
$\mathbf{M_2} оқиғасы: max(d_1,d_2) = 2$
$P(M_1|B) = ?$
$P(M_2|B) = ?$
$P(M_1|B) = 0$
$P(M_2|B) = 1/2$

Белгілеулерді қарап шығып, жаңаларын енгізейік

$A$ - Латын әріптерімен жазылған бас әріптер оқиғаларды білдіреді, мысалы, бүгін таңертең Астанада қар жауып тұр; $B$ - Астанадағы көлік кептелістері 8 баллдан жоғары.
$A \cup B$ - қалада қар бар НЕМЕСЕ көлік кептелістері
$A \cap B$ - қалада қар бар ЖӘНЕ көлік кептелістері
Оқиғаны терістеу, яғни қандай да бір бастапқы оқиғаның болмауынан тұратын оқиға $A^c$ арқылы белгіленеді және $A$-ның толықтауышы деп аталады.
Бұл толықтауыш, себебі $A^c$ $A$-ты $\Omega$-қа толықтырады: $A^c \cup A = \Omega$
$A^c \cup B$ - қалада қар жоқ НЕМЕСЕ көлік кептелістері

Мысал

$A$ оқиғасы: Жүктілік. Заңға сәйкес деп есептеңіз. Бұл деректерден біз $P(A) = 0.01$ екенін білеміз
$B$ оқиғасы: Жүктілік сынағы оң
Мұны диаграмма түрінде көрсетейік

Енді ықтималдықтарды есептейік

$P(B|A) = 0.98, P(B^c|A^c) = 0.05$
Айталық, $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ есептегіміз келеді, бірақ $P(B)$ білмейміз
Оқиға мен шартты ауыстырсақ ше: $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$
$P(A \cap B) = P(A)P(B|A)$

Көбейту ережесі

Шартты ықтималдық формуласы оқиғалардың бірлескен ықтималдығын түсіндіруге мүмкіндік береді

\[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} <=> P(A \cap B) = P(B)*P(A|B) \]

Оқиға ретінде не қабылданатыны мен шарт ретінде не қабылданатыны арасында ешқандай түбегейлі айырмашылық жоқ болғандықтан

\[ P(B|A) = \frac{P(A\cap B)}{P(A)} <=> P(A\cap B) = P(A)*P(B|A) \]

Көбейту ережесі

$A$ және $B$ оқиғаларының бір мезгілде пайда болу ықтималдығы, $A$ орын алған жағдайда, $A$ оқиғасының ықтималдығын $B$ оқиғасының ықтималдығына көбейтіндіге тең.

\[ P(A \cap B) = P(B)*P(A|B) \]

Және керісінше

\[ P(A\cap B) = P(A)*P(B|A) \]

Мысал

$P(A \cap B) = P(A)P(B|A) = 0.01*0.98 = 0.0098$

Жалпы ықтималдық

Енді $P(A \cap B)$ туралы білімімізге сүйене отырып, $B$ оқиғасының ықтималдығын қалпына келтіруге бола ма, жоқ па, қарастырайық.
Интуитивті түрде, $B$ оқиғасы $A$ және $A^c$ шарты бойынша орын алуы мүмкін. Сонымен қатар, бұл екі шарт $B$ оқиғасына апаратын барлық мүмкін «жолдарды» толығымен жояды

\[\begin{align*} P(B) &= P(A \cap B) + P(A^c \cap B) \\ &= P(A)P(B|A) + P(A^c)P(B|A^c) \\ &= 0.01*0.98 + 0.99*0.05 &= 0.0593 \end{align*}\]

Енді бастапқы сұраққа оралайық

Біз тест оң болған жағдайда $A$ жүктілік ықтималдығын есептегіміз келді $B$
Біз адамның жүкті болуы ЖӘНЕ тест оң болған оқиғасының ықтималдығын есептедік: $P(A \cap B) = P(A)*P(B|A)$
Біз тест оң болған оқиғасының ықтималдығын да есептедік: $P(B) = P(A \cap B) + P(A^c \cap B)$
Енді бізде қажетті нәтижені есептеу үшін қажеттінің бәрі бар:$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0.0098}{0.0593} = 0.165$

Байес формуласы

Біз жаңа ғана жасаған нәрсе мынаған ұқсайды

\[ P(A|B) = \frac{P(A)*P(B|A)}{P(B)} \]

Мұндағы, $P(B) = P(A)P(B|A) + P(A^c)P(B|A^c)$

Күрделі мысал

$\{A_1, A_2, A_3\}$ үш оқиғасы: $A_1 \cup A_2 \cup A_3 = \Omega$ және $A_i \cap A_j = \emptyset, \forall i \neq j$, бұл нәтиже кеңістігінің бөлінуі деп аталады.
Біз барлық $P(A_i)$ және $P(B|A_i)$ білеміз.

Сұрақ

$P(A_i \cap B) = ?$ есептей аламыз ба?
Иә, $P(A_i|B) = \frac{P(A_i \cap B)}{P(B)} P(A_i \cap B) = P(B)P(A_i|B) = P(A_i)P(B|A_i)$ дегенді білдіреді.
Мысалы:
$P(A_1 \cap B) = P(A_1)P(B|A_1) = 0.25$
$P(A_2 \cap B) = P(A_2)P(B|A_2) = 0.18$
$P(A_3 \cap B) = P(A_3)P(B|A_3) = 0.16$

Жалпы ықтималдық тағы да

$P(B) = ?$ туралы не деуге болады. $B = (A_1 \cap B) \cup (A_2 \cap B) \cup (A_3 \cap B)$ екенін ескеріңіз - Міне, сондықтан:

\[\begin{align*} P(B) &= P(A_1 \cap B) + P(A_2 \cap B) + P(A_3 \cap B) \\ &= P(A_1)*P(B|A_1) + P(A_2)*P(B|A_2) + P(A_3)*P(B|A_3) \\ &= 0.25 + 0.18 + 0.16 &= 0.59 \end{align*}\]

Байес формуласының кеңейтілген нұсқасы

$B$ оқиғасы орын алды делік. $P(A_i)$ ықтималдықтарын қайта қарастыра аламыз ба?
Иә. Жаңа ықтималдықтарды $P(A_i|B)$ деп атайық \[P(A_i|B) = \frac{P(A_i)*P(B|A_i)}{P(B)} = \frac{P(A_i)*P(B|A_i)}{\sum_j{P(A_j)*P(B|A_j)}}\]
$P(A_1|B) = \frac{P(A_1)*P(B|A_1)}{\sum_{j=1}^{3}{P(A_j)*P(B|A_j)}} = 0.42$
$P(A_2|B) = \frac{P(A_2)*P(B|A_2)}{\sum_{j=1}^{3}{P(A_j)*P(B|A_j)}} = 0.31$
$P(A_3|B) = \frac{P(A_3)*P(B|A_3)}{\sum_{j=1}^{3}{P(A_j)*P(B|A_j)}} = 0.27$

Тәуелсіздік

«Әділ» монетаның екі лақтыруын қарастырайық: $P(Heads) = p, P(Tails) = 1-p$
$P(O_2|O_1) = p$, сонымен қатар $P(O_2|P_1) = p$
$O_2$ жалпы ықтималдығы:

\[\begin{align*} P(O_2) &= P(O_2 \cap O_1) + P(O_2 \cap O_1) = \\ P(O_2) &= P(O_1)P(O_2|O_1) + P(P_1)P(O_2|P_1) = \\ P(O_2) &= 1/2*1/2 + 1/2*1/2 = 1/2 \\ P(O_2) &= 1/2 = P(O_2|O_1) \end{align*}\]

Тәуелсіздік

Интуитивті түрде, екі оқиға $P(A|B) = P(A)$ болған кезде тәуелсіз болады.
Бірақ бұдан шығатыны да бар: $\frac{P(A \cap B)}{P(B)} = P(A) \rightarrow P(A \cap B) = P(A)P(B)$
$A$ және $B$ тәуелсіздігінің формальды анықтамасы.

\[ P(A \cap B) = P(A)P(B) \]

Жақсырақ, себебі:
A және B-ге қатысты симметриялы
$P(A) \neq 0$ немесе $P(B) \neq 0$ қажет емес

Тәуелсіздік және тәуелділік: Мысалдар

$A$ - қалада қар бар; $B$ - лақтырудағы бастар
$P(A) = 0.1, P(B|A) = 0.5 => P(A \cap B) = P(A)*P(B|A) = 0.05$
Сонымен қатар, $P(A) * P(B) = 0.05$
Енді, $C$ - бастар, және $P(C) = 0.2$, бірақ $P(C|A) = 0.5$
Содан кейін, $P(A\cap C) = P(A)*P(C|A) = 0.05$
Бірақ, $P(A)*P(C) = 0.1*0.2 = 0.02$

Жаттығулар

U1. Адамдардың шамамен 9%-ы солақай. Қазақстан халқынан кездейсоқ таңдалған екі адам болсын. Іріктеу мөлшері халық санымен салыстырғанда өте аз болғандықтан, бұл екі бақылау тәуелсіз деп болжауға болады. (a) Екеуінің де солқай болу ықтималдығы қандай? (b) Екеуінің де оңқай болу ықтималдығы қандай?

Жауаптары:

$P(Солқай)P(Солқай) = 0.09 * 0.09 = 0.0081$
$P(Оңқай) * P(Оңқай) = (1 - 0.09) * (1 - 0.09) = 0.8281$

Y2. Енді біз кездейсоқ 5 адамды таңдадық.

Барлығының оңқай болу ықтималдығы қандай?
Барлығының солқай болу ықтималдығы қандай?
Барлығының оңқай емес болу ықтималдығы қандай?

Жауаптар:

\[\begin{align*} P(\textrm{all five are RH}) &= P(\textrm{first = RH, second = RH, ..., fifth = RH}) &= P(RH)\times P(RH)\times \dots \times P(RH) = 0.91\times 0.91 \times 0.91 \times 0.91 \times 0.91 = 0.624 \end{align*}\]

b) Ұқсас логика бойынша: $0.09^5 = 0.0000059$

c) Қосымшаны пайдалану $P(\textrm{Не все правши}) = 1 - P(\textrm{все правши}) = 1 - 0.624 = 0.376$

Тапсырмалар

OpenIntro: 3.8, 3.9, 3.10, 3.11