4  Дискретті кездейсоқ шамалар

Кездейсоқ айнымалылар

  • Бізде ыңғайлы болу үшін әріптермен белгіленген студенттер тобы бар, \(\Omega = \{a, b, c, ..\}\)
  • Кездейсоқ оқиға - кездейсоқ студентті таңдап, олардың бойын жазып алыңыз
  • Мысалы, \(a\) студенті \(h_a = 182\) (см) биіктігімен таңдалды
  • Басқа жолы, \(c\) студенті \(h_c = 150\) биіктігімен таңдалуы мүмкін
  • Әрбір студенттің бойы қандай да бір \(h\) санына тең. Бірақ кездейсоқ студенттің бойы кездейсоқ айнымалы, \(H\)

Кездейсоқ айнымалылар

  • \(H\) - кездейсоқ оқиғаның нәтижесін білгеннен кейін мәні анықталатын нысан (яғни, таңдалған студент).
  • Бұл мағынада, \(H\) кездейсоқ оқиғаның функциясы болып табылады: \(H: \Omega \rightarrow H(\omega) = h\)
  • Кездейсоқ айнымалы кездейсоқ оқиғаның нәтижесіне сандық мән «береді».

Кездейсоқ айнымалылармен жұмыс істеген кезде, ықтималдықтың таралу механизмі қажет. Дискретті айнымалылар үшін мұндай механизм - PMF (Ықтималдық массасының функциясы). PMF - дискретті кездейсоқ айнымалының әрбір мүмкін мәнінің пайда болу ықтималдығын білдіру тәсілі.

Ең қарапайым мысал:

Қаңылтырды лақтыруды елестетіп көріңіз. Мүмкін болатын нәтижелер 1, 2, 3, 4, 5 немесе 6.

PMF бізге, егер қалыбыңыз әділ болса, осы сандардың әрқайсысының ықтималдығы 1/6 екенін айтады.

PMF-ті кесте түрінде көрсетуге болады:

Немесе әр жолақтың биіктігі ықтималдықты білдіретін график.
Мағына (x) 1 2 3 4 5 6
P(X = x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

Негізгі мәселе:

  • PMF дискреттік мәндер үшін қолданылады (яғни, тізімдеуге болатын мәндер).

  • Барлық ықтималдықтардың қосындысы әрқашан 1-ге тең.

  • Мәннің ықтималдығы неғұрлым жоғары болса, ол көптеген бақылауларда соғұрлым жиі кездеседі.

Дискреттік кездейсоқ айнымалылардың және олардың PMF-терінің басқа мысалдары

  • Біз тиынды 3 рет лақтырдық
  • Нәтиже кеңістігінің типтік элементі, \(\Omega\), \(\omega = HHT\) сияқты көрінеді
  • Енді \(X\) айнымалысын енгізейік - «бастардың» пайда болу саны.
  • \(X\) \(0\)-дан \(3\)-қа дейінгі мәндерді қабылдай алады. Мысалы, \(X(HHT) = 2\)
  • Кездейсоқ айнымалы оның мәнін білдіретін бас әріппен, мысалы, \(X\) және кіші әріппен, мысалы, \(x\) белгіленеді.
  • \(X = x\) дегеніміз \(X\) айнымалысы \(x\) мәнін қабылдағанын білдіреді.

Кездейсоқ айнымалы функциясы

  • Кездейсоқ айнымалының кез келген функциясы өзі кездейсоқ айнымалы болып табылады.

  • Мысалы, \(X\) - штамп, \(Y = X^2\) - сол домалаудың квадрат нәтижесі, сонымен қатар кездейсоқ айнымалы.

  • Басқа мысалдар: \(H\) - кездейсоқ адамның бойы, \(W\) - кездейсоқ адамның салмағы, \(U = W/H^2\) - кездейсоқ адамның дене массасының индексі, сонымен қатар кездейсоқ айнымалы.

Дискретті айнымалының ықтималдық масса функциясы (ЫМФ)

  • \(X\)-ның ЫМФ - бұл жай ғана \(X\) мәндері бойынша ықтималдық үлестірімі.
  • Мысалы, бізде үш \(a, b, c\) студенті және кездейсоқ студенттің бойын беретін \(X\) кездейсоқ айнымалысы бар. Айталық, $x_a = 153, x_b = 175, x_c = 175
  • Ықтималдық $P(X = 153) = 1/3 және ықтималдық $P(X = 175) = 2/3
  • PMF - кез келген \(x\) үшін \(P(X = x)\) ықтималдығын беретін функция
  • Формальды түрде, \(p_X(*): X \rightarrow [0,1]\)
  • PMF \(p_X(x) = P(X = x)\) ретінде жазылады

Дискретті айнымалының PMF

  • Кездейсоқ оқиға: алты жақты штамптың екі домалауы (2d6) \(X\) - бірінші домалату, \(Y\) - екінші домалату
  • Әрбір нәтиже бірдей ықтимал
  • мысалы, \(P(X = 1, Y = 2) = 1/36\)
  • \(Z = X + Y\) жаңа айнымалысын енгізе отырып, барлығы үшін \(p_Z(z)\) табамыз \(z\)
  • \(z \in \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}\)
  • \(z\) түзету:
  • \(z = x + y\) болатын барлық \(x, y\) жұптарын таңдаңыз
  • сәйкес ықтималдықтарды қосыңыз \(P(X = x, Y = y)\)
  • Мысалы, \(p_Z(2) = P(Z = 2) = 1/36\), \(p_Z(3) = P(Z = 3) = 2/36\), …

Дискретті айнымалының PMF-і

Кездейсоқ үлестірімді анықтау

  • Үлестірімді анықтау = кездейсоқ айнымалыны анықтау = PMF (!!!) анықтау

  • Мұның бәрі синонимдер

Мысалдар

  • Лотерея және құмар ойындар (PMF)

Лотерея ойнадыңыз делік. Егер сізде лотерея ұтыстары үшін PMF болса, белгілі бір соманы ұтып алу ықтималдығын есептей аласыз. Мысалы, егер сіз лотереядан 0, 1000 немесе 10 000 теңге ұтып алсаңыз, онда PMF-ті біле отырып, сіз келесі сұраққа жауап бере аласыз: 1000 теңге немесе одан да көп ұтып алу мүмкіндігі қандай?

  • Емтихан бағалары (ЕББ)

Сыныпта 100 оқушы болса және бағалар дискретті түрде бөлінген болса (мысалы, A, B, C, D, F). Белгілі бір баға алған оқушылардың үлесін көрсету үшін ЕББ құруға болады.

Жалпы дискретті үлестірімдер

Бернулли

  • Бернулли үлестірімі бір сынақ болатын және қандай да бір оқиғаның \(p\) ықтималдығымен орын алуы мүмкін жағдайды модельдейді.
  • Ол бір параметрмен анықталады: \(p \in [0,1]\).
  • Формальды түрде, ЕББ тілінде ол былай жазылады:

\[\begin{align*} p_X(0) = 1-p \\ p_X(1) = p. \end{align*}\]

Біркелкі үлестірім

  • Кездейсоқ оқиға: \([a, b]\) аралығындағы кездейсоқ бүтін санды алу
  • Параметрлер: \(a, b \in Z\)
  • Нәтиже кеңістігі: \(\{a, a+1, ..., b\}\), \(|\Omega| = b-a+1\)
  • Кездейсоқ айнымалы \(X: X(\omega) = \omega\)
  • \(p_X(x) = \frac{1}{b-a+1}, \forall x\)
  • Максималды белгісіздік (надандық) моделі
  • мысалы, біз мүмкін болатын нәтижелерді білеміз, бірақ олардың ықтималдығы туралы ештеңе білмейміз.
  • Белгіленеді: \(X \sim U[a,b]\)

Биномдық үлестірім

  • Оқиға: \(n\) монета лақтырулары, мұндағы \(P(Бастар) = p\)
  • Нәтиже кеңістігі: \(n\) ұзындығындағы «бастар» немесе «құйрықтар» тізбегі
  • n = 3: \(\omega = OOP\) немесе = \(ORO\)
  • n = 10: \(\omega = PROOROOOOOR\)
  • Кездейсоқ айнымалы \(X\): тізбектегі «бастар» саны
  • егер \(\omega = OOP болса, X(\omega) = 2\)
  • егер \(\omega = PPP болса, X(\omega) = 0\)
  • Параметрлер:
  • \(n \in Z^+; p \in [0,1]\)

Биномдық үлестірім

  • Бірдей және тәуелсіз сынақтар тізбегіндегі “табыстар” санының моделі

\[ p_X(2) = P(X = 2) = \\ P(OOP) + P(OOP) + P(OOP) = \\ 3p^2(1-p) = \binom 3 2 p^2(1-p) \]

Биномдық үлестірім

  • Жалпы форма

\[ p_X(k) = \binom n k p^k(1-p)^{n-k}, \forall k = 0, 1, ..,n \]

Биномдық коэффициенттер

  • \(p_X(k) = \binom n k p^k(1-p)^{n-k}\)
  • \(\binom n k\) дегеніміз не?
  • \(n\) элементтерінен \(k\) элементтерін таңдау жолдарының саны

\[ \binom n k = \frac{n!}{(n-k)!k!} \]

  • Мысалы, 3 элементтің ішінен 2 элементті таңдаудың қанша жолы бар?

\[ \binom 3 2 = \frac{3!}{(3-2)!2!} = \frac{3*2*1}{1*2*1} = 3 \]

Неліктен биномдық?

  • Олар сондай-ақ «биномдық» жіктемеде пайда болады (сондықтан атауы)

\[ (x + y)^n = \binom n 0x^ny^0 + \binom n 1x^{n-1}y^1 + \dots + \binom{n}{n-1}x^1y^{n-1} + \binom{n}{n}x^0y^{n} \\ (x + y)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^ny^{n-k} \\ e.g. (x+y)^3 = \binom 3 0x^3y^0 + \binom 3 1x^2y^1 + \binom 3 2x^1y^2 + \binom 3 3x^0y^3\\ (x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 \\ \textrm{special case, when }x=1, y=1 : \\ 2^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} \]

Дискретті S.P. күтілімі

  • Мысал: \(X\) кездейсоқ күні ішетін кофе кеселерінің санын білдірсін. Үлестірімді анықтайық.

    Кофе кеселерінің саны (X) 1 2 3
    Ықтималдық \(p_X(*)\) 3/10 6/10 1/10

    Ал, немесе басқа жазбада,

    • \(p_X(1) = P(X = 1) = 3/10\)
    • \(p_X(2) = P(X = 2) = 6/10\)
    • \(p_X(3) = P(X = 3) = 1/10\)

Дискретті S.P. күтуі

  • 100 күнде орта есеппен қанша кесе кофе ішемін?

\[ \textrm{Орташа кесе саны} = \frac{1*30 + 2*60 + 3*10}{100} = 1.8 \\ \textrm{ор} \\ \textrm{Орташа кесе саны} = 1*\frac{3}{10} + 2*\frac{6}{10} + 3*\frac{1}{10} = 1.8 \]

  • Анықтама:

\[ E[X] = \sum_{x}xp_X(x) \]

  • Түсіндірме: Көптеген сынақтар кезінде айнымалының орташа мәні

Популяцияның орташа мәні ретіндегі күту

  • \(n\) оқушылары бар делік
  • \(i\)-ші оқушының бойы: \(h_i\)
  • Оқиға: кездейсоқ оқушыны таңдаңыз, барлық нәтижелер бірдей ықтималды
  • Кездейсоқ айнымалы \(H\): кездейсоқ оқушының бойы
  • Қарапайымдылық үшін барлық \(h_i\) бірегей деп есептейік

\[\begin{align*} p_H(h_i) &= \frac{1}{n} \\ E[G] &= \sum_hh_ip_H(h_i) = \sum_hh_i\frac{1}{n} \\ &=\frac{\sum_{h}h_i}{n} \end{align*}\]

  • Кездейсоқ таңдалған оқушының күтуі, \(E[H]\), популяцияның орташа мәніне тең
  • Сондықтан кездейсоқ, бірдей ықтималды үлгі маңызды!!

Күту қасиеттері

  • Егер \(c\) тұрақты болса, \(E[c] = c\)
  • \(E[X + Y] = E[X] + E[Y]\)
  • егер \(Y = g(X)\) болса, онда \(E[Y] = E[g(X)]\)

Мысал, биномдық айнымалының күтуі:

\[\begin{align*} X \sim Bi(n, p) \textrm{ : X - биномдық r.v. n және p} параметрлерімен \\ \textrm{brute force way: } E[X] = \sum_{k=0}^{n}k\binom{n}{k}p^n(1-p)^{n-k} \\ \textrm{smart way}: X = Y_1 + Y_2 + \dots + Y_n, \textrm{where } Y_i \sim Be(p) \\ E[X] = E[Y_1 + \dots +Y_n]=E[Y_1] + \dots + E[Y_n] = p + \dots + p = np \\ E[X] = np \end{align*}\]

Мысықпен мысал

  • Таңертең иесін тістейтін мысық бар. Әр таң үшін ықтималдық 10%. - Мысық жылына қанша рет шағады?
  • \(E[X] = 364(n)*0.1(p) = 36.4\)

Кездейсоқ айнымалының дисперсиясы

  • Күтім бізге үлестірімнің орталығы туралы түсінік береді
  • Ал үлестірімнің «таралуы» туралы бізге не ақпарат бере алады?
  • Мысалы, \(X\) бар, күту \(E[X] = \mu\)

Кездейсоқ айнымалының дисперсиясы

  • \(X\) дисперсиясы, анықтамасы

\[ var(X) = E[(X - \mu)^2] \geq 0 \\ \]

  • Қасиеттер

\[\begin{align*} var(X) &= E[X^2 - 2X\mu + \mu^2] = E[X^2] - E[2X\mu] + E[\mu^2] \\ &= E[X^2] - 2\mu E[X] + \mu^2 = E[X^2] - 2\mu^2 + \mu^2 \\ &= E[X^2] - \mu^2 \textrm{ (or) } \\ &= E[X^2] - (E[X])^2 \end{align*}\]

  • Стандартты ауытқу

\[ \sigma_X = \sqrt{var(X)} \]

Бернулли RV вариациясы

  • Бернулли: \(X \sim Be(p)\)
  • \(X^2 = X\) екенін ескеріңіз, бұл екеуі бірдей ықтималдықтармен \(0, 1\) мәндерін қабылдайды

\[ var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = E[X] - (E[X])^2 = p - p^2 = p(1-p) \]

Біркелкі RV дисперсиясы

  • Біркелкі: \(Y \sim U[0, n]\), (ерекше жағдай)
  • \(E[Y] = \frac{n}{2}, p_Y(y) = \frac{1}{n+1}\)

\[\begin{align*} var(Y) &= E[Y^2] - (E[Y])^2 \\ &= \frac{1}{n+1}(0^2+1^2+\dots+n^2) - \frac{n^2}{4} = \\ &= \textrm{ кейбір қараңғы алгебра орын алады және ..} \\ &= \frac{1}{12}n(n+2) \end{align*}\]

  • Біркелкі R.P.: \(Z \sim Uni(a, b)\), (жалпы жағдай)
  • \(Z = Y + a, n = b - a\) екенін ескеріңіз
  • \(Var(Y + a) = Var(Y)\)

\[var(Z) = \frac{1}{12}(b-a)(b-a+2)\]

5